第 10 章填空题 4

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• 第 10 章选择题 2

第 10 章填空题 4

设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$V^{\ast }$ 是 $V$ 的对偶空间。设 $\{e_1,\cdots ,e_n\},\{e_1^{\prime },\cdots ,e_n^{\prime }\}$ 是 $V$ 的两组基，且从 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ 到 $\{e_1^{\prime },\cdots ,e_n^{\prime }\}$ 的过渡矩阵是 $P$。又假设 $\{f_1,\cdots ,f_n\}$ 和 $\{f_1^{\prime },\cdots ,f_n^{\prime }\}$ 分别是 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ 和 $\{e_1^{\prime },\cdots ,e_n^{\prime }\}$ 的对偶基，则从 $\{f_1,\cdots ,f_n\}$ 到 $\{f_1^{\prime },\cdots ,f_n^{\prime }\}$ 的过渡矩阵是（ ）。

解答

设 $P=(p_{ij})$，又设从 $\{f_1^{\prime },\cdots ,f_n^{\prime }\}$ 到 $\{f_1,\cdots ,f_n\}$ 的过渡矩阵为 $Q=(q_{ij})$，于是

$$f_j=q_{1j}{f}_1^{\prime }+\cdots +q_{nj}{f}_n^{\prime },e_i^{\prime }=p_{1i}{e}_1+\cdots +p_{ni}{e}_n,$$

从而 $(f_j,e_i^{\prime })=q_{ij}=p_{ji}$，即 $Q=P^{\prime }$。因此从 $\{f_1,\cdots ,f_n\}$ 到 $\{f_1^{\prime },\cdots ,f_n^{\prime }\}$ 的过渡矩阵是 $(P^{\prime }{)}^{-1}$。