例 9.134

依赖于

• 例 2.73

被以下题目直接调用

• 无

例 9.134

设

$$J=\left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -I_n& O\end{array}\right),$$

$A$ 为 $2n$ 阶实矩阵，满足 $AJ{A}^{\prime }=J$，求证：$|A|=1$。

解答

证法 1 由 Laplace 定理容易算出 $|J|=1$，从而由 $AJ{A}^{\prime }=J$ 可得 $|A{|}^2=1$，即 $|A|=\pm 1$。设

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ D& E\end{array}\right)$$

，则有

$$\begin{array}{rl}AJ+JA& =\left(\begin{array}{cc}B& C\\ D& E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -I_n& O\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}O& I_n\\ -I_n& O\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B& C\\ D& E\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}D-C& B+E\\ -B-E& D-C\end{array}\right).\end{array}$$

由例 2.73 可得 $|AJ+JA|\ge 0$。注意到

$$(AJ+JA)A^{\prime }=AJ{A}^{\prime }+JA{A}^{\prime }=J(I_{2n}+A{A}^{\prime }),$$

并且 $I_{2n}+A{A}^{\prime }$ 为正定阵，故有

$$|AJ+JA||A|=|(AJ+JA)A^{\prime }|=|J||I_{2n}+A{A}^{\prime }|>0,$$

于是 $|A|>0$，从而 $|A|=1$。

证法 2 设

$$A=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ D& E\end{array}\right)$$

，则由 $AJ{A}^{\prime }=J$ 可得

$$B{C}^{\prime }=C{B}^{\prime },D{E}^{\prime }=E{D}^{\prime },E{B}^{\prime }-D{C}^{\prime }=I_n.$$

设 $C=SQ$ 为极分解，其中 $Q$ 是正交矩阵，$S$ 是半正定实对称矩阵，则 $C^{\prime }=Q^{\prime }S$，并且有

$$C(B+tQ{)}^{\prime }=C{B}^{\prime }+tC{Q}^{\prime }=B{C}^{\prime }+tS=(B+tQ)C^{\prime }.$$

因为

$$|B+tQ|=|Q||t{I}_n+B{Q}^{\prime }|$$

是一个关于 $t$ 的 $n$ 次多项式，故在实数域上至多只有 $n$ 个根，从而可以取到一列实数 $t_k\to 0$，使得 $B+t_{k}Q$ 均非异。利用降阶公式计算下列行列式的值：

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}B+t_{k}Q& C\\ D& E\end{array}\right|& =|B+t_{k}Q|\cdot |E-D(B+t_{k}Q{)}^{-1}C|\\ & =|E-D(B+t_{k}Q{)}^{-1}C|\cdot |(B+t_{k}Q{)}^{\prime }|\\ & =|E(B+t_{k}Q{)}^{\prime }-D(B+t_{k}Q{)}^{-1}C(B+t_{k}Q{)}^{\prime }|\\ & =|E(B+t_{k}Q{)}^{\prime }-D{C}^{\prime }|\\ & =|E{B}^{\prime }-D{C}^{\prime }+t_{k}E{Q}^{\prime }|=|I_n+t_{k}E{Q}^{\prime }|.\end{array}$$

上式两边同取极限，令 $t_k\to 0$，即得 $|A|=|I_n|=1$。$\square$