问题 2017S15

依赖于

• 例 8.40

被以下题目直接调用

• 无

问题 2017S15

设 A 为 n 阶正定实对称阵, $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$ , $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{x}$ 为对应的实二次型. 设去掉 A 的第 i 行和第 i 列后的主子阵为 $A_i$ , 证明: $f(\mathbf{x})$ 在 $x_i=1$ 的条件下的最小值为 $\frac{|A|}{|A_i|}$ , $1\le i\le n$ .

解答

注意到问题的条件和结论在 (正交) 合同变换 $A\mapsto P_{in}A{P}_{in}$ 下不改变, 其中 $P_{in}$ 是对换第 i, n 行的初等矩阵, 故只要考虑 i = n 的情形即可. 设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ , $A_n$ 是去掉 A 的第 n 行和第 n 列的主子阵, $\mathbf{y}=(x_1,\cdots ,x_{n-1}{)}^{\prime }$ , 则在 $x_n=1$ 的条件下, 考虑的二次型为

$$f(\mathbf{x})=({\mathbf{y}}^{\prime },1)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_n& \mathbf{\alpha }\\ {\mathbf{\alpha }}^{\prime }& a_{nn}\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{y}}{1}\right).$$

由例 8.40 和行列式的降阶公式可知, 在 $x_n=1$ 的条件下, 当 $y=-A_n^{-1}\alpha$ 时, $f(x)$ 取到最小值 $a_{nn}-{\alpha }^{\prime }{A}_n^{-1}\alpha =\frac{|A|}{|A_n|}$.