例 8.40 依赖于 无显式依赖 被以下题目直接调用 问题 2017S15 例 8.40 设 A 是 n 阶正定实对称矩阵，求证：函数 f(x)=x′Ax+2β′x+c 的极小值等于 c−β′A−1β，其中 β=(b1,⋯,bn)′，bi 和 c 都是实数。 解答 证明 注意到 f(x)=(x′1)(Aβ′βc)(x1), 因为 A 可逆，故可作如下对称分块初等变换： (In−β′A−1O1)(Aβ′βc)(InO−A−1β1)=(AOOc−β′A−1β). 由 (x1)=(InO−A−1β1)(y1) 可解出 y=x+A−1β，于是 f(x)=(y′1)(AOOc−β′A−1β)(y1)=y′Ay+c−β′A−1β≥c−β′A−1β. 因此，当 x=−A−1β 时，f(x) 取到极小值 c−β′A−1β。□
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