第 8 章解答题 8

依赖于

• 例 8.49

被以下题目直接调用

• 无

第 8 章解答题 8

设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶实矩阵，满足：

$$\begin{array}{l}\text{(1) }{a}_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}=a>0;\\ \text{(2) }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|+\sum _{j=1}^n|a_{ji}|<4a(1\le i\le n).\end{array}$$

试求二次型 $f(x)=x^{\prime }Ax$ 的规范标准型，其中 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime }$。

解答

考虑 $A$ 的对称化 $\frac{1}{2}(A+A^{\prime })$，由假设不难验证这是一个主对角元全大于零的严格对角占优阵， 故由例 8.49 可知 $\frac{1}{2}(A+A^{\prime })$ 是正定阵，因此二次型

$$f(x)=\frac{1}{2}{x}^{\prime }(A+A^{\prime })x$$

是正定型，其规范标准型为 $y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2$。