第 8 章解答题 3

依赖于

• 例 8.10

被以下题目直接调用

• 无

第 8 章解答题 3

化下列实二次型为标准型：

$$f(x_1,x_2,\cdots ,x_{2n})=x_1{x}_{2n}+x_2{x}_{2n-1}+\cdots +x_n{x}_{n+1}.$$

解答

解法 1 作如下非异线性变换：

$$x_i=y_i+y_{2n+1-i},x_{2n+1-i}=y_i-y_{2n+1-i}(1\le i\le n),$$

则

$$f=y_1^2+\cdots +y_n^2-y_{n+1}^2-\cdots -y_{2n}^2.$$

解法 2 二次型 $f$ 的系数矩阵 $A$ 是一个 $2n$ 阶实对称矩阵，其反对角元全为 $\frac{1}{2}$，其余元素全为 0。 由例 8.10 可知 $A$ 的正负惯性指数都是 $n$，因此二次型 $f$ 的规范标准型为 $y_1^2+\cdots +y_n^2-y_{n+1}^2-\cdots -y_{2n}^2$。