例 8.10

依赖于

例 8.10

设 $A$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵，
$B = (O A^{'} A O)$
，求 $B$ 的正负惯性指数。

解将 $B$ 的第一分块行左乘 $A^{- 1}$ ，再将第一分块列右乘 $(A^{- 1})^{'} = (A^{'})^{- 1}$ ，于是 $B$ 合同于

C = (O I_{n} I_{n} O)

。将 $C$ 的第二分块行加到第一分块行上，再将第二分块列加到第一分块列上，于是 $C$ 合同于

D = (2 I_{n} I_{n} I_{n} O)

。将 $D$ 的第一分块行左乘 $- \frac{1}{2} I_{n}$ 加到第二分块行上，再将第一分块列右乘 $- \frac{1}{2} I_{n}$ 加到第二分块列上，于是 $D$ 合同于

(2 I_{n} O O - \frac{1}{2} I_{n}),

因此 $B$ 的正负惯性指数都等于 $n$ 。 $□$