例 8.51

依赖于

例 8.51

设 $α, β$ 为 $n$ 维非零实列向量，求证： $α^{'} β > 0$ 成立的充要条件是存在 $n$ 阶正定实对称矩阵 $A$ ，使得 $α = A β$ 。

证明先证充分性。若存在 $n$ 阶正定实对称矩阵 $A$ ，使得 $α = A β$ ，则 $α^{'} β = (A β)^{'} β = β^{'} A β > 0$ 。下面用两种方法来证明必要性。

证法 1 注意到问题的条件和结论在矩阵变换

A \mapsto C^{'} A C, α \mapsto C^{'} α, β \mapsto C^{- 1} β

下不改变，故不妨从一开始就假设

β = e_{n} = (0, \dots, 0, 1)^{'}

（这等价于将原来的 $β$ 放在非异阵 $C$ 的最后一列）， $α = (a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n})^{'}$ ，则 $α^{'} β > 0$ 等价于 $a_{n} > 0$ 。设

A = (t I_{n - 1} α_{n - 1}^{'} α_{n - 1} a_{n}), α_{n - 1} = (a_{1}, \dots, a_{n - 1})^{'},

其中 $t ≫ 0$ ，则由行列式的降阶公式可得

∣ A ∣ = ∣ t I_{n - 1} ∣ (a_{n} - α_{n - 1}^{'} (t I_{n - 1})^{- 1} α_{n - 1}) = t^{n - 2} (a_{n} t - a_{1}^{2} - \dots - a_{n - 1}^{2}) > 0.

又 $A$ 的前 $n - 1$ 个顺序主子式都大于零，故 $A$ 为正定阵且满足 $α = A e_{n} = A β$ 。

证法 2 设

A = I_{n} - \frac{β β ^{'}}{α ^{'} β} + \frac{α α ^{'}}{α ^{'} β},

则由例 8.47 可知 $A$ 为正定阵。不难验证 $A β = α$ 成立，故结论得证。 $□$