例 8.47

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• 无显式依赖

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• 例 8.51

例 8.47

设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$n$ 维实列向量 $\alpha ,\beta$ 满足 ${\alpha }^{\prime }\beta >0$，求证：

$$H=A-\frac{A\beta {\beta }^{\prime }A}{{\beta }^{\prime }A\beta }+\frac{\alpha {\alpha }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }\beta }$$

是正定阵。

解答

证明 根据定义只要证明对任一实列向量 $x$，均有 $x^{\prime }Hx\ge 0$，且等号成立当且仅当 $x=0$ 即可。 一方面，由 ${\alpha }^{\prime }\beta >0$ 可知

$$\frac{x^{\prime }(\alpha {\alpha }^{\prime })x}{{\alpha }^{\prime }\beta }=\frac{({\alpha }^{\prime }x{)}^2}{{\alpha }^{\prime }\beta }\ge 0,$$

等号成立当且仅当 ${\alpha }^{\prime }x=0$。另一方面，由 $A$ 正定可知，存在非异实矩阵 $C$，使得 $A=C^{\prime }C$。设

$$C\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\prime },Cx=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\prime },$$

则由 Cauchy-Schwarz 不等式可知

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }Ax-\frac{x^{\prime }A\beta {\beta }^{\prime }Ax}{{\beta }^{\prime }A\beta }& =(Cx{)}^{\prime }(Cx)-\frac{(Cx{)}^{\prime }(C\beta )(C\beta {)}^{\prime }(Cx)}{(C\beta {)}^{\prime }(C\beta )}\\ & ={\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)}^{-1}\left(\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)-{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i\right)}^2\right)\ge 0.\end{array}$$

等号成立当且仅当 $b_i$ 与 $x_i$ 成比例，即存在实数 $k$，使得 $Cx=kC\beta$，即 $x=k\beta$。 由上述计算可得 $x^{\prime }Hx\ge 0$，且等号成立当且仅当 ${\alpha }^{\prime }x=0$ 且 $x=k\beta$，再由 ${\alpha }^{\prime }\beta >0$ 可得 $k=0$，从而 $x=0$，结论得证。$\square$