例 8.50

依赖于

• 例 8.49

被以下题目直接调用

• 无

例 8.50

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，求证：必存在正实数 $k$，使得对任一 $n$ 维实列向量 $\alpha$，总有

$$-k{\alpha }^{\prime }\alpha \le {\alpha }^{\prime }A\alpha \le k{\alpha }^{\prime }\alpha .$$

解答

证明 设 $A=(a_{ij})$，我们总可以取到充分大的正实数 $k$，使得

$$k+a_{ii}>\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^n|a_{ij}|,1\le i\le n,$$

即 $k{I}_n\pm A$ 是主对角元全大于零的严格对角占优阵，由例 8.49 可得 $k{I}_n\pm A$ 为正定阵， 从而对任一 $n$ 维实列向量 $\alpha$，总有 ${\alpha }^{\prime }(k{I}_n\pm A)\alpha \ge 0$，从而结论得证。$\square$