问题 2019S07

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• 例 6.32

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• 无

问题 2019S07

设 A, B, C 是 n 阶复矩阵, 满足: C = AB - BA, AC = CA, BC = CB.

(1) 请用 Jordan 标准型理论证明: C 的特征值全为零; (2) 设 $m_A(\lambda ),m_B(\lambda )$ 分别是 $A,B$ 的极小多项式, $k=\min \{\mathrm{deg}{m}_A(\lambda ),\mathrm{deg}{m}_B(\lambda ),n-1\}$, 证明: $C^k=O$ .

解答

(1) 参考例 6.32 的证法 3. (2) 参考教学论文 [21] 的命题 1.