问题 2016S06

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• 例 2.36
• 例 2.38

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问题 2016S06

(1) 设 $\mathbf{A}(\lambda )=(a_{ij}(\lambda ))$ 是 n 阶 $\lambda -$ 矩阵, 则其行列式定义为

$$|\mathbf{A}(\lambda )|=\sum _{(i_1,i_2,\dots ,i_n)\in S_n}(-1{)}^{N(i_1,i_2,\dots ,i_n)}{a}_{i_{1}1}(\lambda )a_{i_{2}2}(\lambda )\dots a_{i_{n}n}(\lambda ).$$

利用上述定义证明: $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵的行列式满足 9 条性质, 其中前 8 条参考高代教材 [1] § 1.3 和 § 1.4, 第 9 条性质参考高代教材的定理 1.4.1 和定理 1.4.2.

(2) 证明: $\lambda$ -矩阵的行列式满足 Laplace 定理和 Cauchy-Binet 公式. 特别地, 设 $A(\lambda ),B(\lambda )$ 为 $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵, 则

$$\left|\mathbf{A}(\lambda )\cdot \mathbf{B}(\lambda )\right|=\left|\mathbf{A}(\lambda )\right|\cdot \left|\mathbf{B}(\lambda )\right|,$$

即 $\lambda -$ 矩阵乘积的行列式等于其行列式的乘积.

(3) 设 $n(n\ge 2)$ 阶 $\lambda$ -矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的伴随矩阵为 $\mathbf{A}(\lambda {)}^{\ast }$ , 它的元素即为 $\mathbf{A}(\lambda )$ 中元素的代数余子式, 因此 $\mathbf{A}(\lambda {)}^{\ast }$ 也是一个 $n$ 阶 $\lambda$ -矩阵. 设 $\mathbf{A}(\lambda ),\mathbf{B}(\lambda )$ 为 $n(n\ge 2)$ 阶 $\lambda$ -矩阵, 证明 $\lambda$ -矩阵的伴随矩阵满足如下性质:

(3.1) $A(\lambda )A(\lambda {)}^{\ast }=A(\lambda {)}^{\ast }A(\lambda )=|A(\lambda )|I_n;$

(3.2) $(\mathbf{A}(\lambda )\mathbf{B}(\lambda ){)}^{\ast }=\mathbf{B}(\lambda {)}^{\ast }\mathbf{A}(\lambda {)}^{\ast }$;

(3.3) $|\mathbf{A}(\lambda {)}^{\ast }|=|\mathbf{A}(\lambda ){|}^{n-1};$

(3.4) $(\mathbf{A}(\lambda {)}^{\ast }{)}^{\ast }=|\mathbf{A}(\lambda ){|}^{n-2}\mathbf{A}(\lambda )$.

(4) 设 $A\in M_n(\mathbb{K})$ 的特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda I_n-A|$，试对特征矩阵 $\lambda I_n-A$ 利用 (3.1) 证明 Cayley-Hamilton 定理，即 $f(A)=O$ . (5) 设 $A(\lambda )$ 为 n 阶 $\lambda -$ 矩阵, 证明下列结论等价:

(5.1) $A(\lambda )$ 是可逆 $\lambda -$ 矩阵;

(5.2) $A(\lambda )$ 的行列式是非零常数;

(5.3) $A(\lambda )$ 的相抵标准型是 $I_n$ ;

(5.4) $A(\lambda )$ 只通过 $\lambda -$ 矩阵的初等行变换或初等列变换就可变为 $I_n$ ;

(5.5) $A(\lambda )$ 是有限个初等 $\lambda -$ 矩阵的乘积,

上述结论之一成立时, $A(\lambda {)}^{-1}=\frac{1}{|A(\lambda )|}A(\lambda {)}^{\ast }$ .

解答

(1) https://www.cnblogs.com/torsor/p/3554028.html, 参考教学博文《行列式的组合定义及其应用---反对称阵的 Pfaffian》.

(2) 参考高代教材中的证明, 由行列式的组合定义可推出 Laplace 定理, 由 Laplace 定理可推出 Cauchy-Binet 公式. (3) 由行列式的性质可推出 (3.1). 参考例 2.36, 由 Cauchy-Binet 公式可推出 (3.2). 可利用多项式的性质证明 (3.3). 设 $g(\lambda )=|\mathbf{A}(\lambda {)}^{\ast }|-|\mathbf{A}(\lambda ){|}^{n-1}$, 由例 2.38 可知, 对任意的 $k\in \mathbb{K}$ , $g(k)=|\mathbf{A}(k{)}^{\ast }|-|\mathbf{A}(k){|}^{n-1}=0$ , 于是 $g(\lambda )$ 在 $\mathbb{K}$ 中有无穷多个根, 从而 $g(\lambda )$ 为零多项式, 这就证明了结论. 同理, 可利用多项式的性质证明 (3.4), 以及给出 (2), (3.1) 和 (3.2) 的另一证明. (4) 设特征多项式 $f(\lambda )={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n,(\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}{)}^{\ast }=M_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +M_1\lambda +M_0$，则由 $(\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A})(\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}{)}^{\ast }=f(\lambda ){\mathbf{I}}_n$ 展开后比较矩阵多项式的系数，依

次可得: $M_{n-1}=I_n,M_{n-2}=A{M}_{n-1}+a_1{I}_n=A+a_1{I}_n,M_{n-3}=A{M}_{n-2}+a_2{I}_n=A^2+a_{1}A+a_2{I}_n,\cdots ,M_0=A{M}_1+a_{n-1}{I}_n=A^{n-1}+a_1{A}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{I}_n$，最后可得

$$\mathbf{O}=\mathbf{A}{\mathbf{M}}_0+a_n{\mathbf{I}}_n={\mathbf{A}}^n+a_1{\mathbf{A}}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\mathbf{A}+a_n{\mathbf{I}}_n=f(\mathbf{A}).$$

(5) 参考高代正课教学视频 § 7.2 中的证明.