第 7 章解答题 2

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• 例 7.24

被以下题目直接调用

• 无

第 7 章解答题 2

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明存在如下分解： $A=A_0+A_1+A_2$，其中 $A_0$ 为 $K$ 上的纯量矩阵，$A_1,A_2$ 均为 $K$ 上的幂零矩阵。

解答

令 $c=\mathrm{tr}(A)/n,A_0=c{I}_n$，则 $\mathrm{tr}(A-A_0)=\mathrm{tr}(A)-nc=0$，即 $A-A_0$ 是迹为零的矩阵。 由例 7.24 可知，存在 $K$ 上的非异阵 $P$，使得 $P^{-1}(A-A_0)P=B$ 是一个主对角元全为零的矩阵。设 $B_1$ 为 $B$ 的主对角线上方元素构成的主对角元全为零的上三角矩阵， $B_2$ 为 $B$ 的主对角线下方元素构成的主对角元全为零的下三角矩阵，显然， $B=B_1+B_2$，且 $B_1,B_2$ 都是幂零矩阵。令 $A_1=P{B}_1{P}^{-1},A_2=P{B}_2{P}^{-1}$，则 $A_1,A_2$ 都是 $K$ 上的幂零矩阵，且满足 $A=A_0+A_1+A_2$。