例 7.24

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• 例 7.25
• 第 7 章解答题 2

例 7.24

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，求证：若 $\mathrm{tr}(A)=0$，则 $A$ 相似于一个 $K$ 上主对角元全为零的矩阵。

解答

证明 对阶数进行归纳。当 $n=1$ 时，$A=O$，结论显然成立。设阶数小于 $n$ 时结论成立，现证 $n$ 阶的情形。由于题目的条件和结论在相似关系下不改变，故不妨从一开始就假设 $A$ 是有理标准型

$$F=\mathrm{diag}\{F(d_1(\lambda )),\cdots ,F(d_k(\lambda ))\},$$

其中 $d_i(\lambda )$ 是 $A$ 的非常数不变因子， $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda )(1\le i\le k-1)$，$\mathrm{deg}{d}_i(\lambda )=r_i$。 若 $r_i$ 都为 1，则 $d_1(\lambda )=\cdots =d_n(\lambda )=\lambda -c$，从而 $A=c{I}_n$。又 $\mathrm{tr}(A)=0$，故 $c=0$，从而 $A=O$，结论成立。以下假设存在某个 $r_i>1$，将第 $(1,1)$ 分块与第 $(i,i)$ 分块对换，这是一个相似变换，此时矩阵的第 $(1,1)$ 元为零，故不妨设 $A$ 的第 $(1,1)$ 元为零。注意到矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{\prime }\\ \beta & B\end{array}\right),$$

其中 $\alpha ,\beta \in K^{n-1}$，$B\in M_{n-1}(K)$，$\mathrm{tr}(B)=0$。

由归纳假设，存在 $K$ 上的 $n-1$ 阶非异阵 $Q$，使得 $Q^{-1}BQ$ 的主对角元全为零，令

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& Q\end{array}\right)$$

为 $K$ 上的 $n$ 阶非异阵，则

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{\prime }Q\\ Q^{-1}\beta & Q^{-1}BQ\end{array}\right)$$

的主对角元全为零，结论得证。$\square$