例 7.44

依赖于

• 例 7.23

被以下题目直接调用

• 无

例 7.44

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的不变因子组为 $d_1(\lambda ),d_2(\lambda ),\cdots ,d_n(\lambda )$，其中 $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda )(1\le i\le n-1)$，又 ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值。 求证：$r({\lambda }_0{I}_n-A)=r$ 的充要条件是 $(\lambda -{\lambda }_0)\nmid d_r(\lambda )$ 但 $(\lambda -{\lambda }_0)\mid d_{r+1}(\lambda )$。

解答

证法 1 $r({\lambda }_0{I}_n-A)=r$ 当且仅当特征值 ${\lambda }_0$ 的几何重数为 $n-r$；这当且仅当 特征值 ${\lambda }_0$ 的 Jordan 块有 $n-r$ 个；由不变因子之间的整除关系可知，这当且仅当后 $n-r$ 个不变因子能被 $\lambda -{\lambda }_0$ 整除，而前 $r$ 个不变因子不能被 $\lambda -{\lambda }_0$ 整除。

证法 2 由例 7.23 可知，$r({\lambda }_0{I}_n-A)=r$ 当且仅当 ${\sum }_{i=1}^n{\delta }_{d_i({\lambda }_0),0}=n-r$；由不变因子之间的整除关系可知， 这当且仅当 $d_i({\lambda }_0)\ne 0(1\le i\le r)$ 且 $d_i({\lambda }_0)=0(r+1\le i\le n)$；最后由余数定理即得结论。$\square$