例 7.23

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 7.44

例 7.23

设数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 的不变因子组是 $1,\cdots ,1,d_1(\lambda ),\cdots ,d_k(\lambda )$，其中 $d_i(\lambda )$ 是非常数首一多项式， $d_i(\lambda )\mid d_{i+1}(\lambda )(1\le i\le k-1)$。求证：对 $A$ 的任一特征值 ${\lambda }_0$，

$$r({\lambda }_0{I}_n-A)=n-\sum _{i=1}^k{\delta }_{d_i({\lambda }_0),0},$$

其中记号 ${\delta }_{a,b}$ 表示：若 $a=b$，取值为 1；若 $a\ne b$，取值为 0。

解答

证法 1 设 $\mathrm{deg}{d}_i(\lambda )=r_i$，则 $A$ 相似于 $F=\mathrm{diag}\{F(d_1(\lambda )),\cdots ,F(d_k(\lambda ))\}$，且 $|{\lambda }_0{I}_{r_i}-F(d_i(\lambda ))|=d_i({\lambda }_0)$。若 $d_i({\lambda }_0)\ne 0$，则 ${\lambda }_0{I}_{r_i}-F(d_i(\lambda ))$ 非异；若 $d_i({\lambda }_0)=0$，则 ${\lambda }_0{I}_{r_i}-F(d_i(\lambda ))$ 奇异且右上角的 $r_i-1$ 阶子式非零，从而秩为 $r_i-1$。因此，

$$\begin{array}{rl}r({\lambda }_0{I}_n-A)& =r({\lambda }_0{I}_n-F)=\sum _{i=1}^{k}r({\lambda }_0{I}_{r_i}-F(d_i(\lambda )))\\ & =\sum _{i=1}^k(r_i-{\delta }_{d_i({\lambda }_0),0})=n-\sum _{i=1}^k{\delta }_{d_i({\lambda }_0),0}.\end{array}$$

证法 2 由已知存在可逆 $\lambda$-矩阵 $P(\lambda ),Q(\lambda )$，使得

$$P(\lambda )(\lambda I_n-A)Q(\lambda )=\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,d_1(\lambda ),\cdots ,d_k(\lambda )\}.$$

在上式中令 $\lambda ={\lambda }_0$，注意到 $P({\lambda }_0),Q({\lambda }_0)$ 是 $K$ 上的可逆矩阵，故 ${\lambda }_0{I}_n-A$ 相抵于 $\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,d_1({\lambda }_0),\cdots ,d_k({\lambda }_0)\}$，于是 $r({\lambda }_0{I}_n-A)$ 等于 $n$ 减去等于零的 $d_i({\lambda }_0)$ 的个数，从而结论得证。$\square$