问题 2023A11

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• 例 5.19

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问题 2023A11

设 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ 是数域 K 上的 n 次不可约多项式, c 是一个复数.

(1) 若 c 和 $c^{-1}$ 都是 $f(x)$ 的复根, 求 $f(x)$ 的系数满足的关系; (2) 若 $c$ 和 $-c$ 都是 $f(x)$ 的复根, 求 $f(x)$ 的系数满足的关系.

解答

(1) 若 $a_0=0$，则由 $f(x)$ 不可约可知 n=1, $f(x)=a_{1}x$，显然此时 $c,c^{-1}$ 不可能都是 $f(x)$ 的复根，矛盾！于是 $a_0\ne 0$，令

$$g(x)=x^{n}f\left(\frac{1}{x}\right)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n\in \mathbb{K}[x],$$

则 $g(c)=c^{n}f\left(\frac{1}{c}\right)=0$，即 $c$ 也是 $g(x)$ 的复根。注意到 $f(x)$ 在 $\mathbb{K}$ 上不可约，故由例 5.19可知 $f(x)\mid g(x)$。又 $\mathrm{deg}f(x)=\mathrm{deg}g(x)=n$，从而只能是 $g(x)=kf(x)$，其中 $k\in \mathbb{K}$。比较 $f(x),g(x)$ 的首项系数和常数项可得 $\frac{a_0}{a_n}=\frac{a_n}{a_0}=k$，从而只能是 $k=\pm 1$，于是 $f(x)$ 的系数满足的关系为 $a_i=k{a}_{n-i}(0\le i\le n)$， $k=\pm 1$。

(2) 令

$$g(x)=f(-x)=(-1{)}^n{a}_n{x}^n+(-1{)}^{n-1}{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +(-a_1)x+a_0\in \mathbb{K}[x],$$

则 $g(c)=f(-c)=0$，即 $c$ 也是 $g(x)$ 的复根。注意到 $f(x)$ 在 $\mathbb{K}$ 上不可约，故由例 5.19可知 $f(x)\mid g(x)$。又 $\mathrm{deg}f(x)=\mathrm{deg}g(x)=n$，从而只能是 $g(x)=(-1{)}^{n}f(x)$。比较 $f(x),g(x)$ 的各项系数可得：

(2.1) 若 $n$ 为偶数, 则 $a_i=0$ 对所有的奇数 $i$ 成立.

(2.2) 若 $n$ 为奇数, 则 $a_i=0$ 对所有的偶数 $i$ 成立. 特别地, 由 $a_0=0$ 以及 $f(x)$ 不可约可知 $n=1$ , $f(x)=a_{1}x$ .