例 5.19

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• 无显式依赖

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• 问题 2023A11

例 5.19

设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式，$f(x)$ 是 $\mathbb{F}$ 上的多项式。证明：若 $p(x)$ 的某个复根 $a$ 也是 $f(x)$ 的根，则 $p(x)\mid f(x)$。特别地，$p(x)$ 的任一复根都是 $f(x)$ 的根。

解答

证明 若 $(p(x),f(x))=1$，则存在 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $u(x),v(x)$，使得 $p(x)u(x)+f(x)v(x)=1$。令 $x=a$ 可得 $1=p(a)u(a)+f(a)v(a)=0$，矛盾。因此 $p(x)$ 与 $f(x)$ 不互素，从而只能是 $p(x)\mid f(x)$，结论得证。$\square$

多项式的标准分解是证明某些问题的有力工具，下面几个例子说明了这一点。