第 5 章解答题 5

依赖于

• 例 5.14

被以下题目直接调用

• 无

第 5 章解答题 5

求使 $1+x^n+x^{2n}+\cdots +x^{mn}$ 能被 $1+x+x^2+\cdots +x^m$ 整除的所有正整数对 $(m,n)$。

解答

由已知，需要

$$\frac{x^{m+1}-1}{x-1}|\frac{x^{(m+1)n}-1}{x^n-1},$$

即

$$\frac{x^{m+1}-1}{x-1},\frac{x^n-1}{x-1}|\frac{x^{(m+1)n}-1}{x-1}.\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

注意到 $(x^{m+1}-1)\mid (x^{(m+1)n}-1),(x^n-1)\mid (x^{(m+1)n}-1)$，故有

$$\frac{x^{m+1}-1}{x-1}|\frac{x^{(m+1)n}-1}{x-1},\frac{x^n-1}{x-1}|\frac{x^{(m+1)n}-1}{x-1}.$$

若 $m+1$ 和 $n$ 互素，则由例 5.14 以及互素多项式的性质可知， $\frac{x^{m+1}-1}{x-1}$ 和 $\frac{x^n-1}{x-1}$ 互素，从而 (5.2) 式成立。反之，若 (5.2) 式成立，则由 $\frac{x^{(m+1)n}-1}{x-1}$ 无重根可知，$\frac{x^{m+1}-1}{x-1}$ 与 $\frac{x^n-1}{x-1}$ 必互素，从而由互素多项式的性质可得 $(x^{m+1}-1,x^n-1)=x-1$，再由例 5.14 可知，$m+1$ 和 $n$ 互素。因此所有满足 $m+1$ 和 $n$ 互素的正整数对 $(m,n)$ 即为所求。