例 5.14

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• 第 5 章解答题 5

例 5.14

设 $f(x)=x^m-1,g(x)=x^n-1$，求证：$(f(x),g(x))=x^d-1$，其中 $d$ 是 $m,n$ 的最大公因子。

解答

证法 1 不妨设 $m\ge n,m=nq+r$，先证明 $(x^m-1,x^n-1)=(x^r-1,x^n-1)$。假设

$$d_1(x)=(x^m-1,x^n-1),d_2(x)=(x^r-1,x^n-1).$$

注意到

$$x^m-1=x^{nq+r}-1=x^r(x^{nq}-1)+(x^r-1),$$

$(x^n-1)\mid (x^{nq}-1)$，故 $d_1(x)\mid (x^r-1)$，从而 $d_1(x)\mid d_2(x)$。从上式也可以看出 $d_2(x)\mid (x^m-1)$，从而 $d_2(x)\mid d_1(x)$，因此 $d_1(x)=d_2(x)$。又设 $n=q_{1}r+r_1$，则

$$(x^m-1,x^n-1)=(x^n-1,x^r-1)=(x^r-1,x^{r_1}-1).$$

再由辗转相除，有某个 $r_{s-1}=q_{s+1}{r}_s$，其中 $r_s=d$ 是 $m,n$ 的最大公因子，于是

$$(x^m-1,x^n-1)=(x^{r_{s-1}}-1,x^{r_s}-1)=x^d-1.$$

证法 2 只需求出 $f(x),g(x)$ 的公根。$f(x)$ 的根为

$$\cos \frac{2k\pi }{m}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{m},1\le k\le m,$$

$g(x)$ 的根为

$$\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n},1\le k\le n,$$

则公根为

$$\cos \frac{2k\pi }{d}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{d},1\le k\le d.$$

这就是 $x^d-1$ 的全部根，于是结论成立。$\square$