例 3.83

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 8.49

例 3.83

如果 $n$ 阶实方阵 $A=(a_{ij})$ 适合条件：

$$|a_{ii}|>\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^n|a_{ij}|,1\le i\le n,$$

则称 $A$ 是严格对角占优阵。求证：严格对角占优阵必是非异阵。若上述条件改为

$$a_{ii}>\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^n|a_{ij}|,1\le i\le n,$$

求证：$|A|>0$。

解答

证明 对第一个结论，只需证明线性方程组 $Ax=0$ 只有零解。若有非零解，设为 $(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$，假设 $c_k$ 是其中绝对值最大者。将解代入该方程组的第 $k$ 个方程式，得

$$a_{k1}{c}_1+\cdots +a_{kk}{c}_k+\cdots +a_{kn}{c}_n=0,$$

即有

$$-a_{kk}{c}_k=a_{k1}{c}_1+\cdots +a_{k,k-1}{c}_{k-1}+a_{k,k+1}{c}_{k+1}+\cdots +a_{kn}{c}_n.$$

上式两边同取绝对值，由三角不等式以及 $c_k$ 是绝对值最大的假设可得

$$\begin{array}{rl}|a_{kk}||c_k|& \le |a_{k1}||c_1|+\cdots +|a_{k,k-1}||c_{k-1}|+|a_{k,k+1}||c_{k+1}|+\cdots +|a_{kn}||c_n|\\ & \le \left(\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne k\end{array}}^n|a_{kj}|\right)|c_k|,\end{array}$$

从而有

$$|a_{kk}|\le \sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne k\end{array}}^n|a_{kj}|,$$

得到矛盾。因此，方程组 $Ax=0$ 只有零解。

第二个结论的证明可借助连续函数的性质。考虑矩阵 $t{I}_n+A$，当 $t\ge 0$ 时，这是一个严格对角占优阵，因此其行列式 $f(t)=|t{I}_n+A|$ 不为零。又 $f(t)$ 是关于 $t$ 的多项式且首项系数为 1，所以当 $t$ 充分大时，$f(t)>0$。注意到 $f(t)$ 是 $[0,+\infty )$ 上处处不为零的连续函数，并且当 $t$ 充分大时取值为正，因此 $f(t)$ 在 $[0,+\infty )$ 上取值恒为正。特别地，$f(0)=|A|>0$。