问题 2019A04

依赖于

• 例 2.1
• 例 2.14

被以下题目直接调用

• 无

问题 2019A04

试求

(1) 与全体循环矩阵 (例 2.14) 都乘法可交换的所有的 n 阶方阵. (2) 与全体置换矩阵 $\{P_{\sigma },\sigma \in S_n\}$ 都乘法可交换的所有的 $n$ 阶方阵.

解答

(1) 由例 2.1 和例 2.14 可知, 任一循环矩阵都可表示为基础循环矩阵的多项式. 因此, n 阶方阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 与所有的循环矩阵乘法可交换等价于与基础循环矩阵 $J=\left(\begin{array}{cc}O& I_{n-1}\\ 1& O\end{array}\right)$ 乘法可交换, 即 AJ = JA, 经计算可得

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{1n}& a_{11}& \dots & a_{1,n-2}& a_{1,n-1}\\ a_{2n}& a_{21}& \dots & a_{2,n-2}& a_{2,n-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n-1,n}& a_{n-1,1}& \dots & a_{n-1,n-2}& a_{n-1,n-1}\\ a_{nn}& a_{n1}& \dots & a_{n,n-2}& a_{n,n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{21}& a_{22}& \dots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3,n-1}& a_{3n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{n,n-1}& a_{nn}\\ a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1,n-1}& a_{1n}\end{array}\right).$$

比较元素可得 $a_{ij}=a_{i+1,j+1}(1\le i,j\le n)$ , 其中约定若指标大于 $n$ , 则自动变成模 $n$ 的余数, 上式即 $\mathbf{A}$ 为循环矩阵. 因此, 与所有循环矩阵乘法可交换的 $n$ 阶方阵为循环矩阵. (2) 设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 与全体置换矩阵 ${\mathcal{P}}_n=\{{\mathbf{P}}_{\sigma },\sigma \in S_n\}$ 乘法可交换, 则由基础循环矩阵 $\mathbf{J}\in {\mathcal{P}}_n$ 可知 $\mathbf{AJ}=\mathbf{JA}$ , 再由 (1) 可知 $\mathbf{A}$ 为循环矩阵. 由初等矩阵 ${\mathbf{P}}_{12}\in {\mathcal{P}}_n$ 可知 ${\mathbf{AP}}_{12}={\mathbf{P}}_{12}\mathbf{A}$ , 经计算可得 $\mathbf{A}$ 的非主对角元全相等, 于是 $\mathbf{A}=a{\mathbf{I}}_n+b\mathbf{B}$ , 其中 $\mathbf{B}$ 是元素全为 1 的 $n$ 阶矩阵. 反之, 容易验证 ${\mathbf{I}}_n$ 和上面的 $\mathbf{B}$ 满足: ${\mathbf{I}}_n{\mathbf{P}}_{\sigma }={\mathbf{P}}_{\sigma }{\mathbf{I}}_n={\mathbf{P}}_{\sigma }$, ${\mathbf{BP}}_{\sigma }={\mathbf{P}}_{\sigma }\mathbf{B}=\mathbf{B}$ , 于是任一形如 $\mathbf{A}=a{\mathbf{I}}_n+b\mathbf{B}$ 的矩阵必与全体置换矩阵乘法可交换. 因此, 与全体置换矩阵乘法可交换的 $n$ 阶方阵为 $\mathbf{A}=(a{\delta }_{ij}+b)$ , 其中 $a,b\in \mathbb{K}$ .