问题 2017A04

依赖于

• 例 2.2

被以下题目直接调用

• 问题 2017A08

问题 2017A04

设 A, B, C 均为 2 阶方阵, 满足 C = AB - BA, AC = CA 和 BC = CB, 求证: C = O.

解答

由 C = AB - BA 以及 AC = CA 可得

$${\mathbf{C}}^2=\mathbf{CAB}-\mathbf{CBA}=\mathbf{A}(\mathbf{CB})-(\mathbf{CB})\mathbf{A},$$

故由矩阵迹的性质可得 $\mathrm{tr}(C)=\mathrm{tr}(C^2)=0$，设 $C=(c_{ij})$，则有 $\mathrm{tr}(C)=c_{11}+c_{22}=0$ 以及 $\mathrm{tr}(C^2)=2(c_{11}^2+c_{12}{c}_{21})=0.$ 若 $c_{12}=c_{21}=0,$ 则 $c_{11}=c_{22}=0,$ 于是 $C=O$，结论得证. 若 $c_{12},c_{21}$ 不全为零，则由矩阵的转置不妨假设 $c_{21}\ne 0.$ 令 $P=\left(\begin{array}{cc}{c}_{11}& 1\\ c_{21}& 0\end{array}\right),$ 则 $|P|=-c_{21}\ne 0,$ 即 $P$ 为可逆阵. 经计算可知

$$\mathbf{CP}=\left(\begin{array}{cc}{c}_{11}& c_{12}\\ c_{21}& -c_{11}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{c}_{11}& 1\\ c_{21}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& c_{11}\\ 0& c_{21}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{c}_{11}& 1\\ c_{21}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\mathbf{PN},$$

其中 $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 是二阶幂零 Jordan 块 (参考例 2.2)，即有 $P^{-1}CP=N$。将条件改写为 $(P^{-1}AP)(P^{-1}CP)=(P^{-1}CP)(P^{-1}AP)$， $(P^{-1}BP)(P^{-1}CP)=(P^{-1}CP)(P^{-1}BP)$，经过计算可得 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right)=aN$， $P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ 0& 0\end{array}\right)=bN$，于是

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{CP}=({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP})({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP})-({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP})({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP})=(a\mathbf{N})(b\mathbf{N})-(b\mathbf{N})(a\mathbf{N})=\mathbf{O},$$

即 C = O, 这与 $c_{21}\ne 0$ 矛盾.