例 2.2

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 问题 2016A06
• 问题 2017A04

例 2.2

设 $n$ 阶幂零 Jordan 块

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right),$$

求证：

$$A^k=\left(\begin{array}{cc}O& I_{n-k}\\ O& O\end{array}\right),1\le k\le n.$$

解答

证明 将 $A$ 写为 $A=(0,e_1,e_2,\cdots ,e_{n-1})$，其中 $e_i$ 是标准单位列向量。由分块矩阵乘法并注意 $A{e}_i$ 就是 $A$ 的第 $i$ 列，因此

$$A^2=(0,A{e}_1,A{e}_2,\cdots ,A{e}_{n-1})=(0,0,e_1,\cdots ,e_{n-2}).$$

不断这样做下去就可得到结论。$\square$

\repminor{5. 多项式的友阵与 Frobenius 块}