问题 2015A02

依赖于

• 例 2.38

被以下题目直接调用

• 无

问题 2015A02

设 $n(n\ge 2)$ 阶方阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}(x))$，其中每个元素 $a_{ij}(x)$ 都是关于未定元 x 的多项式。若 k 是正整数，满足 $x^k$ 整除 A 的所有代数余子式 $A_{ij}$，证明： $x^{k+1}$ 整除 A 的行列式 $|A|$。

解答

因为 $x^k$ 整除 A 的所有代数余子式 $A_{ij}$，所以 $|A^{\ast }|$ 的每一行都能提出公因子 $x^k$，故由例 2.38 可知， $x^{kn}\mid |A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$，于是 $x^{k+1}\mid |A|$。本题还可以推广为：若 k 是正整数， $p(x)$ 是数域 K 上的不可约多项式，满足 $p(x{)}^k$ 整除 A 的所有代数余子式 $A_{ij}$，则 $p(x{)}^{k+1}$ 整除 $|A|$。