第 2 章填空题 15

依赖于

• 例 2.74

被以下题目直接调用

• 无

第 2 章填空题 15

设 $A,B$ 均为可逆矩阵，则

$${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}& & \\ & & \end{array}\right).$$

解答

分块上三角矩阵的逆矩阵也是分块上三角矩阵，因此可用待定元素法。设原矩阵的逆矩阵为

$$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& X\\ O& B^{-1}\end{array}\right),$$

则

$$\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& X\\ O& B^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& O\\ O& I\end{array}\right),$$

即

$$\left(\begin{array}{cc}I& AX+C{B}^{-1}\\ O& I\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& O\\ O& I\end{array}\right),$$

故 $AX+C{B}^{-1}=O$，$X=-A^{-1}C{B}^{-1}$。因此原矩阵的逆矩阵为

$$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right).$$

\par注 本题也可用分块初等变换法，请参考例 2.74。