例 2.74

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• 无显式依赖

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• 第 2 章填空题 15

例 2.74

已知 $A$ 和 $D$ 是可逆阵，求下列分块矩阵的逆阵

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right).$$

解答

解 设 $A,D$ 分别是 $m,n$ 阶矩阵。对下列分块矩阵进行分块初等变换，先将第二分块行左乘以 $-B{D}^{-1}$ 加到第一分块行上去：

$$\left(\begin{array}{cccc}A& B& I_m& O\\ O& D& O& I_n\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}A& O& I_m& -B{D}^{-1}\\ O& D& O& I_n\end{array}\right),$$

再用 $A^{-1}$ 和 $D^{-1}$ 分别左乘以第一分块行及第二分块行得到：

$$\left(\begin{array}{cccc}{I}_m& O& A^{-1}& -A^{-1}B{D}^{-1}\\ O& I_n& O& D^{-1}\end{array}\right).$$

因此原矩阵的逆阵为

$$\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}B{D}^{-1}\\ O& D^{-1}\end{array}\right).$$