例 2.64

依赖于

例 2.64

设 $A, B$ 都是 $m \times n$ 实矩阵，求证：
$∣ A A^{'} ∣∣ B B^{'} ∣ \geq ∣ A B^{'} ∣^{2} .$

证明若 $m > n$ ，则 $∣ A A^{'} ∣ = ∣ B B^{'} ∣ = ∣ A B^{'} ∣ = 0$ ，结论显然成立。若 $m \leq n$ ，则由 Cauchy-Binet 公式可得

∣ A A^{'} ∣ = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} \leq n \sum A (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m})^{2};

∣ B B^{'} ∣ = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} \leq n \sum B (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m})^{2};

∣ A B^{'} ∣ = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} \leq n \sum A (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m}) B (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m}),

再由例 2.63 即得结论。