20 级高代 I 期中 07

依赖于

• 例 6.65
• 例 2.7
• 例 9.101

被以下题目直接调用

• 无

20 级高代 I 期中 07

设 $A,B$ 为 $n$ 阶实方阵，其中 $A$ 是主对角元全为正数的上三角阵，并且

$$AB+B{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime }.$$

证明：

1. $B$ 是对称阵；
2. $A$ 是对角阵当且仅当 $B^2=A{A}^{\prime }$；
3. $|B|>0$。

解答

先用到以下三个白皮书结论：

• 例 6.65：若 $A$ 与 $B$ 无公共特征值，则矩阵方程 $AX-XB=C$ 有唯一解；
• 例 2.7：若 $X{X}^{\prime }=O$，则 $X=O$；
• 例 9.101：若 $X+X^{\prime }$ 正定，则有相应的行列式不等式。

首先把原等式视为关于未知矩阵 $X$ 的方程：

$$AX-X(-A^{\prime })=2A{A}^{\prime }.$$

因为 $A$ 是主对角元为正的上三角阵，它的特征值全是正实数；而 $-A^{\prime }$ 的特征值全是负实数。两者没有公共特征值。由例 6.65，上述方程在 $M_n(\mathbb{R})$ 中有唯一解。

原条件说明 $X=B$ 是这个方程的解。对原等式两边取转置：

$$A{B}^{\prime }+B^{\prime }{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime },$$

这说明 $X=B^{\prime }$ 也是同一个方程的解。由唯一性，

$$B=B^{\prime },$$

所以 $B$ 为对称阵。

接着证明第二问。若 $A$ 为对角阵，则 $A=A^{\prime }$。此时 $X=A$ 满足

$$AX+X{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime }.$$

由刚才的唯一性，必有

$$B=A.$$

于是

$$B^2=A^2=A{A}^{\prime }.$$

反过来，假设 $B^2=A{A}^{\prime }$。计算

$$(A-B)(A-B{)}^{\prime }=A{A}^{\prime }+B^2-AB-B{A}^{\prime }.$$

由原条件 $AB+B{A}^{\prime }=2A{A}^{\prime }$ 和假设 $B^2=A{A}^{\prime }$ 得

$$(A-B)(A-B{)}^{\prime }=0.$$

由例 2.7，

$$A-B=0.$$

所以 $A=B$。由于 $A$ 是上三角阵，而 $B$ 已证为对称阵，因此 $A$ 同时是上三角阵和对称阵，只能是对角阵。

最后证明行列式正性。由原等式和 $B=B^{\prime }$ 可得

$$AB+(AB{)}^{\prime }=2A{A}^{\prime }.$$

右端是正定阵，因此 $AB+(AB{)}^{\prime }$ 正定。由例 9.101，

$$|2A{A}^{\prime }|\le 2^n|AB|.$$

化简得

$$|B|\ge |A|.$$

由于 $A$ 是主对角元全为正数的上三角阵，

$$|A|>0,$$

从而

$$|B|>0.$$

参考：谢启鸿高等代数官方博客。