例 9.101

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• 例 9.102

例 9.101

设 $A$ 是 $n$ 阶斜 Hermite 矩阵，即 ${\overline{A}}^{\prime }=-A$。证明：$A$ 必酉相似于对角矩阵 $\mathrm{diag}\{c_1,c_2,\cdots ,c_n\}$，其中 $c_i$ 是零或纯虚数。

解答

证明 注意到斜 Hermite 矩阵 $A$ 满足 $A{\overline{A}}^{\prime }=-A^2={\overline{A}}^{\prime }A$，故 $A$ 为正规矩阵， 因此存在酉矩阵 $U$，使得

$${\overline{U}}^{\prime }AU=\mathrm{diag}\{c_1,c_2,\cdots ,c_n\}.$$

因为 $({\overline{U}}^{\prime }AU{)}^{\prime }={\overline{U}}^{\prime }{A}^{\prime }U=-{\overline{U}}^{\prime }AU$，故对角矩阵 $\mathrm{diag}\{c_1,c_2,\cdots ,c_n\}$ 也是斜 Hermite 矩阵，从而每个 $c_i$ 都满足 $\overline{c_i}=-c_i$，即 $c_i$ 是零或纯虚数。$\square$