12 级高代 I 期中 05

依赖于

• 例 6.63
• 例 7.26

被以下题目直接调用

• 无

12 级高代 I 期中 05

设 $A=(a_{ij})$ 为 n 阶上三角阵, 其主对角元 $a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}$ 互不相同.

(1) 设 n 阶方阵 B 与 A 乘法可交换, 即满足 AB = BA, 证明: B 也是上三角阵. (2) 设

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),V=\{\mathbf{B}\in M_3(\mathbb{R})\mid \mathbf{AB}=\mathbf{BA}\}.$$

证明: V 是 $M_3(\mathbb{R})$ 的子空间, 并求 V 的维数.

解答

(1) 设 $B=(b_{ij})$ , 证明思路是依次比较乘积 $AB=BA$ 两边的第 $j$ 列 $(j=1,2,\dots ,n-1)$ 的第 $(i,j)$ 元素 $(i=n,n-1,\dots ,j+1)$ , 最后可得 $b_{ij}=0(i>j)$ , 即 $B$ 是上三角阵. 具体地, 注意到 $A=(a_{ij})$ 是主对角元互异的上三角阵, 故比较乘积 $AB=BA$ 两边的第 $(n,1)$ 元素可得 $a_{nn}{b}_{n1}=a_{11}{b}_{n1}$ , 于是 $b_{n1}=0$ ; 再比较乘积两边的第 $(n-1,1)$ 元素可得 $a_{n-1,n-1}{b}_{n-1,1}=a_{11}{b}_{n-1,1}$ , 于是 $b_{n-1,1}=0,\cdots$ ; 最后比较乘积两边的第 $(2,1)$ 元素可得 $a_{22}{b}_{21}=a_{11}{b}_{21}$ , 于是 $b_{21}=0$ . 然后再依次比较乘积两边的第 $2,\cdots ,n-1$ 列的元素即可得证.

(2) 容易验证 $V$ 是 $M_3(\mathbb{R})$ 的子空间. 设 $B=(b_{ij})\in V$ , 代入 $AB=BA$ , 经计算可得 $B$ 具有如下形状:

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{12}+b_{22}& b_{12}& b_{12}\\ 0& b_{22}& b_{23}\\ 0& 0& b_{22}-b_{23}\end{array}\right)=b_{22}{\mathbf{I}}_3+b_{12}\mathbf{C}+b_{23}\mathbf{D},$$

其中 $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$. 容易验证 $\{I_3,C,D\}$ 线性无关, 从而是 V 的一组基, 于是 $\dim V=3$ . 注意到 $C+D=A,C-D=A^2$ , 故 $\{I_3,A,A^2\}$ 也是 V 的一组基. 本题高代 II 的证法可参考例 6.63 或例 7.26.