问题 2017A03

依赖于

• 例 1.14

被以下题目直接调用

• 无

问题 2017A03

求下列 $n(n\ge 2)$ 阶行列式的值:

$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccccc}1+x^2& x& 0& \dots & 0& 0\\ x+x^2& 1+x^2& x& \dots & 0& 0\\ 0& x& 1+x^2& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1+x^2& x\\ 0& 0& 0& \dots & x& 1+x^2\end{array}\right|.$$

解答

记 n 阶三对角行列式

$$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}1+x^2& x& 0& \dots & 0& 0\\ x& 1+x^2& x& \dots & 0& 0\\ 0& x& 1+x^2& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1+x^2& x\\ 0& 0& 0& \dots & x& 1+x^2\end{array}\right|,$$

则由例 1.14 可得 $D_n=x^{2n}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+1$ . 将原行列式 $|A|$ 的第一列拆分为 $(1+x^2,x,0\cdots ,0{)}^{\prime }+(0,x^2,0,\cdots ,0{)}^{\prime }$ , 于是由拆分法可得

$$|\mathbf{A}|=D_n-x^3{D}_{n-2}=x^{2n}-x^{2n-1}+x^{2n-2}-x^{2n-3}+\cdots +x^4-x^3+x^2+1.$$