例 1.16

依赖于

例 1.16

计算 $n$ 阶行列式：
$D_{n} = x_{1} z z ⋮ z z y x_{2} z ⋮ z z y y x_{3} ⋮ z z \dots \dots \dots \dots \dots y y y ⋮ x_{n - 1} z y y y ⋮ y x_{n} .$

解对第 $n$ 列进行拆分即可得到递推公式：

D_{n} = x_{1} z z ⋮ z z y x_{2} z ⋮ z z y y x_{3} ⋮ z z \dots \dots \dots \dots \dots y y y ⋮ x_{n - 1} z y + 0 y + 0 y + 0 ⋮ y + 0 y + x_{n} - y = x_{1} z z ⋮ z z y x_{2} z ⋮ z z y y x_{3} ⋮ z z \dots \dots \dots \dots \dots y y y ⋮ x_{n - 1} z y y y ⋮ y y + x_{1} z z ⋮ z z y x_{2} z ⋮ z z y y x_{3} ⋮ z z \dots \dots \dots \dots \dots y y y ⋮ x_{n - 1} z 000 ⋮ 0 x_{n} - y = x_{1} - z 00 ⋮ 0 z y - z x_{2} - z 0 ⋮ 0 z y - z y - z x_{3} - z ⋮ 0 z \dots \dots \dots \dots \dots y - z y - z y - z ⋮ x_{n - 1} - z z 000 ⋮ 0 y + (x_{n} - y) D_{n - 1} = (x_{n} - y) D_{n - 1} + y i = 1 \prod n - 1 (x_{i} - z) .

同理（转置）有

D_{n} = (x_{n} - z) D_{n - 1} + z i = 1 \prod n - 1 (x_{i} - y) .

若 $y \neq = z$ ，解得

D_{n} = \frac{1}{z - y} [z i = 1 \prod n (x_{i} - y) - y i = 1 \prod n (x_{i} - z)];

若 $y = z$ ，由递推可得

D_{n} = i = 1 \prod n (x_{i} - y) + y i = 1 \sum n j \neq = i \prod (x_{j} - y) . □