09 级高代 I 期中 05

依赖于

• 例 1.14

被以下题目直接调用

• 无

09 级高代 I 期中 05

对于任意的实数 $a,b$ , 计算下列 $n$ 阶行列式的值:

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccccc}ab+1& a& 0& 0& \dots & 0& 0\\ b& ab+1& a& 0& \dots & 0& 0\\ 0& b& ab+1& a& \dots & 0& 0\\ 0& 0& b& ab+1& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \dots & ab+1& a\\ 1& 0& 0& 0& \dots & b& ab+1\end{array}\right|.$$

解答

将原行列式的第一列拆分为 $(ab+1,b,0,\cdots ,0{)}^{\prime }+(0,0,\cdots ,0,1{)}^{\prime }$，于是原行列式等于两个行列式之和。第一个行列式是三对角行列式，由例 1.14 可知，其值为 $a^n{b}^n+\cdots +ab+1$；第二个行列式按第一列展开后是一个下三角行列式，主对角元全为 a，于是其值为 $(-1{)}^{n-1}{a}^{n-1}$。因此，原行列式 $D_n=a^n{b}^n+\cdots +ab+1+(-1{)}^{n-1}{a}^{n-1}(n\ge 3)$， $D_2=a^2{b}^2+ab+1$， $D_1=ab+1$。