例 10.8

依赖于

• 例 10.6
• 例 10.7

被以下题目直接调用

• 例 10.9

例 10.8

设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，${\phi }^{\ast }$ 是 $\phi$ 的对偶变换，求证：

$$\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }.$$

解答

证法 1 假设 $f\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$，则存在 $g\in V^{\ast }$，使得 $f={\phi }^{\ast }(g)$。对 $\mathrm{Ker}\phi$ 中任一向量 $x$，有

$$⟨f,x⟩=⟨{\phi }^{\ast }(g),x⟩=⟨g,\phi (x)⟩=0.$$

因此 $f\in (\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$，从而 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\subseteq (\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$。

另一方面，设 $\dim \mathrm{Ker}\phi =k$，则由例 10.6 可得 $\dim (\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }=n-k$。设 $\phi$ 在 $V$ 的一组基 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ 下的表示矩阵为 $A$，则 ${\phi }^{\ast }$ 在 $V^{\ast }$ 的对偶基 $\{f_1,\cdots ,f_n\}$ 下的表示矩阵为 $A^{\prime }$。于是 $\dim \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=r(A^{\prime })=r(A)=\dim \mathrm{Im}\phi =n-k$， 从而可得 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$。

证法 2 由例 10.7 可知，我们只要证明 $\mathrm{Ker}\phi =(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$ 即可。若 $x\in \mathrm{Ker}\phi$，则对任意的 ${\phi }^{\ast }(f)\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$，有 $⟨{\phi }^{\ast }(f),x⟩=⟨f,\phi (x)⟩=0$，因此 $x\in (\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$，即 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq (\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$。另一方面，任取 $x\in (\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }$，则对任意的 ${\phi }^{\ast }(f)\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$，有 $0=⟨{\phi }^{\ast }(f),x⟩=⟨f,\phi (x)⟩$。由 $f$ 的任意性可知 $\phi (x)=0$，即 $x\in \mathrm{Ker}\phi$，从而 $(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }{)}^{\perp }\subseteq \mathrm{Ker}\phi$，于是结论得证。$\square$