例 10.9

依赖于

• 例 10.8

被以下题目直接调用

• 无

例 10.9

设 $\phi$ 是线性空间 $V$（不要求是有限维）上的幂等线性变换（即 ${\phi }^2=\phi$）， ${\phi }^{\ast }$ 是 $\phi$ 的对偶变换，求证：

$$\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }.$$

解答

证明 与例 10.8 完全一样的证明可得 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\subseteq (\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$。另一方面，任取 $f\in (\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$，如果能证明 $f={\phi }^{\ast }(f)$，就能得到 $f\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$，从而 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$ 成立。事实上，对任意的 $v\in V$，由 ${\phi }^2=\phi$ 可知 $v-\phi (v)\in \mathrm{Ker}\phi$，于是 $f(v-\phi (v))=0$，从而 $f(v)=f(\phi (v))={\phi }^{\ast }(f)(v)$ 对任意的 $v\in V$ 成立，因此 $f={\phi }^{\ast }(f)$。$\square$