问题 2020S16

依赖于

• 例 9.5

被以下题目直接调用

• 无

问题 2020S16

设 a 为正实数, 证明下列 n 阶实对称阵为正定阵:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}a& \frac{a^2}{2}& \frac{a^3}{3}& \dots & \frac{a^n}{n}\\ \frac{a^2}{2}& \frac{a^3}{3}& \frac{a^4}{4}& \dots & \frac{a^{n+1}}{n+1}\\ \frac{a^3}{3}& \frac{a^4}{4}& \frac{a^5}{5}& \dots & \frac{a^{n+2}}{n+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{a^n}{n}& \frac{a^{n+1}}{n+1}& \frac{a^{n+2}}{n+2}& \dots & \frac{a^{2n-1}}{2n-1}\end{array}\right).$$

解答

设 V = C[0, a] 为 [0, a] 区间上的连续函数全体构成的欧氏空间, 其内积定义为 $(f(x),g(x))={\int }_0^{a}f(x)g(x)dx$ . 容易验证 $\{1,x,\cdots ,x^{n-1}\}$ 是 V 中一组线性无关的向量, 且 A 为其 Gram 矩阵. 由例 9.5 可知 A 为正定阵.