问题 2018S15

依赖于

• 例 9.124

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• 无

问题 2018S15

设 A, B 是乘法可交换的 n 阶实对称阵, 且 A, B, $A+B$ 都可逆, 证明:

$$(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{-1}\ne {\mathbf{A}}^{-1}+{\mathbf{B}}^{-1}.$$

解答

因为 A, B 是乘法可交换的实对称阵, 故由例 9.124 可知 A, B 可同时正交对角化, 即存在正交阵 P, 使得

$${\mathbf{P}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{P}={\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{A}}=\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\right\},{\mathbf{P}}^{\prime }\mathbf{B}\mathbf{P}={\mathbf{\Lambda }}_{\mathbf{B}}=\mathrm{diag}\left\{{\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n\right\},$$

其中特征值 ${\lambda }_i,{\mu }_i$ 为非零实数且 ${\lambda }_i+{\mu }_i\ne 0(1\le i\le n)$ . 根据上述化简, 要证明结论成立, 只要证明 $({\Lambda }_A+{\Lambda }_B{)}^{-1}\ne {\Lambda }_A^{-1}+{\Lambda }_B^{-1}$ 成立, 这等价于证明 $({\lambda }_i+{\mu }_i{)}^{-1}\ne {\lambda }_i^{-1}+{\mu }_i^{-1}(1\le i\le n)$ 成立, 而这由 ${\lambda }_i^2+{\lambda }_i{\mu }_i+{\mu }_i^2=({\lambda }_i+\frac{1}{2}{\mu }_i{)}^2+\frac{3}{4}{\mu }_i^2>0$ 即得.