问题 2016S18

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问题 2016S18

设 A 为 n 阶实对称阵, 其特征值为 ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$ .

(1) 设 S 为 $n\times m$ 阶实矩阵，满足 $S^{\prime }S=I_m$，m 阶实对称阵 $S^{\prime }AS$ 的特征值为 ${\mu }_1\le {\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_m$，证明：

$${\lambda }_j\le {\mu }_j,{\lambda }_{n-j+1}\ge {\mu }_{m-j+1}(j=1,2,\dots ,m);$$

(2) 若 $A_m$ 是 A 的 m 阶主子阵, 其特征值为 ${\mu }_1\le {\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_m$ , 证明:

$${\lambda }_j\le {\mu }_j,{\lambda }_{n-j+1}\ge {\mu }_{m-j+1}(j=1,2,\dots ,m).$$

注本题的结论 (1) 称为 特征值隔离定理'' 或 Poincare 定理”, 结论 (2) 称为 “Cauchy 交错定理”.

解答

(1) 由 $S^{\prime }S=I_m$ 可知 S 为列满秩阵, 故 $S:R^m\to R^n$ 是单线性映射, 从而对 $R^m$ 的任一 j 维子空间 $W_j$ , $S(W_j)$ 也是 $R^n$ 的 j 维子空间. 对 $S^{\prime }AS$ 应用 问题 2016S17 的结论可得:

$$\begin{array}{l}{\mu }_j={\min }_{W_j}{\max }_{0\ne \mathbf{x}\in W_j}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }({\mathbf{S}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{S})\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}={\min }_{W_j}{\max }_{0\ne \mathbf{x}\in W_j}\frac{(\mathbf{Sx}{)}^{\prime }\mathbf{A}(\mathbf{Sx})}{(\mathbf{Sx}{)}^{\prime }(\mathbf{Sx})}\\ ={\min }_{\mathbf{S}(W_j)}{\max }_{0\ne \mathbf{y}\in \mathbf{S}(W_j)}\frac{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{y}}{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{y}}\ge {\min }_{V_j}{\max }_{0\ne \mathbf{y}\in V_j}\frac{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{y}}{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{y}}={\lambda }_j,\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{\mu }_{m-j+1}={\max }_{W_j}{\min }_{0\ne \mathbf{x}\in W_j}\frac{{\mathbf{x}}^{\prime }({\mathbf{S}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{S})\mathbf{x}}{{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{x}}={\max }_{W_j}{\min }_{0\ne \mathbf{x}\in W_j}\frac{(\mathbf{Sx}{)}^{\prime }\mathbf{A}(\mathbf{Sx})}{(\mathbf{Sx}{)}^{\prime }(\mathbf{Sx})}\\ ={\max }_{\mathbf{S}(W_j)}{\min }_{0\ne \mathbf{y}\in \mathbf{S}(W_j)}\frac{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{y}}{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{y}}\le {\max }_{V_j}{\min }_{0\ne \mathbf{y}\in V_j}\frac{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{A}\mathbf{y}}{{\mathbf{y}}^{\prime }\mathbf{y}}={\lambda }_{n-j+1}.\end{array}$$

(2) 设 $A_m$ 是由 A 的第 $i_1,\cdots ,i_m$ 行和列构成的 m 阶主子阵, 取 S 为单位阵 $I_n$ 的第 $i_1,\cdots ,i_m$ 列构成的 $n\times m$ 矩阵, 则 $S^{\prime }AS=A_m$ , 于是 (2) 是 (1) 的推论.