第 9 章解答题 25

依赖于

• 例 3.76
• 例 9.139

被以下题目直接调用

• 无

第 9 章解答题 25

设 $A$ 为 $m\times n$ 实矩阵，求证：对任意的 $m$ 维实列向量 $\beta$， $n$ 元线性方程组 $A^{\prime }Ax=A^{\prime }\beta$ 一定有解。

\repsubsection{9.15.2}{训 练 题 答 案}

解答

证法 1：由例 3.76 可知

$$r(A)=r(A^{\prime }A)\le r(A^{\prime }A,A^{\prime }\beta )=r\left(A^{\prime }(A,\beta )\right)\le r(A^{\prime })=r(A),$$

故有 $r(A^{\prime }A,A^{\prime }\beta )=r(A^{\prime }A)$，从而线性方程组 $A^{\prime }Ax=A^{\prime }\beta$ 一定有解。 证法 2：我们断言 $z=A^{†}\beta$ 一定是线性方程组 $A^{\prime }Ax=A^{\prime }\beta$ 的解，其中 $A^{†}$ 是 $A$ 的广义逆。事实上，由例 9.139 可知，$Az=A{A}^{†}\beta$ 是 $\beta$ 在 $\mathrm{Im}A$ 上的正交投影，因此 $(\beta -A{A}^{†}\beta )\perp \mathrm{Im}A$， 特别地，$\beta -A{A}^{†}\beta$ 与 $A$ 的所有列向量都正交，从而 $A^{\prime }(\beta -A{A}^{†}\beta )=0$。于是 $A^{\prime }A{A}^{†}\beta =A^{\prime }\beta$，即 $z=A^{†}\beta$ 是线性方程组 $A^{\prime }Ax=A^{\prime }\beta$ 的解。