例 9.139

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• 例 9.138

被以下题目直接调用

• 例 9.140
• 第 9 章解答题 25

例 9.139

设 $V,U$ 分别为 $n,m$ 维欧氏空间，$\phi :V\to U$ 为线性映射，${\phi }^{†}$ 为 $\phi$ 的广义逆。求证：${\phi }^{†}\phi$ 是 $V$ 到 $(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }$ 上的正交投影算子，$\phi {\phi }^{†}$ 是 $U$ 到 $\mathrm{Im}\phi$ 上的正交投影算子。

解答

证明 由例 9.138 的证明过程可知，存在 $V$ 的标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，$U$ 的标准正交基 $f_1,f_2,\cdots ,f_m$，使得

$$\phi (e_i)={\sigma }_i{f}_i(1\le i\le r),\phi (e_i)=0(r+1\le i\le n);$$ $${\phi }^{†}(f_j)=\frac{1}{{\sigma }_j}{e}_j(1\le j\le r),{\phi }^{†}(f_j)=0(r+1\le j\le m).$$

因此 ${\phi }^{†}\phi (e_i)=e_i(1\le i\le r)$， ${\phi }^{†}\phi (e_i)=0(r+1\le i\le n)$； $\phi {\phi }^{†}(f_j)=f_j(1\le j\le r)$， $\phi {\phi }^{†}(f_j)=0(r+1\le j\le m)$。注意到

$$\mathrm{Ker}\phi =L(e_{r+1},\cdots ,e_n),(\mathrm{Ker}\phi {)}^{\perp }=L(e_1,\cdots ,e_r),$$ $$\mathrm{Im}\phi =L(f_1,\cdots ,f_r),(\mathrm{Im}\phi {)}^{\perp }=L(f_{r+1},\cdots ,f_m),$$

故结论成立。$\square$