例 9.96

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• 例 9.107

例 9.96

设 $\phi$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 $\phi =\omega \psi$，其中 $\omega$ 为酉算子，$\psi$ 是半正定自伴随算子，且 $\omega$ 与 $\psi$ 乘法可交换。

解答

证明 先证充分性。若 $\phi =\omega \psi$，则 ${\phi }^{\ast }={\psi }^{\ast }{\omega }^{\ast }=\psi {\omega }^{-1}$， 故由 $\omega \psi =\psi \omega$ 可得

$$\phi {\phi }^{\ast }=\omega {\psi }^2{\omega }^{-1}={\psi }^2={\phi }^{\ast }\phi ,$$

因此 $\phi$ 是正规算子。

再证必要性。设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $\phi$ 的全体不同特征值， 由谱分解定理，有

$$\phi ={\lambda }_1{E}_1+{\lambda }_2{E}_2+\cdots +{\lambda }_k{E}_k.$$

若 ${\lambda }_i\ne 0$，令 $r_i=|{\lambda }_i|,s_i=\frac{{\lambda }_i}{|{\lambda }_i|}$； 若 ${\lambda }_i=0$，令 $r_i=0,s_i=1$ 或 $-1$。再令

$$\omega =s_1{E}_1+s_2{E}_2+\cdots +s_k{E}_k,\psi =r_1{E}_1+r_2{E}_2+\cdots +r_k{E}_k,$$

则容易验证 $\omega$ 为酉算子，$\psi$ 是半正定自伴随算子，且 $\omega$ 与 $\psi$ 乘法可交换。$\square$