例 9.107

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• 例 9.96

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• 无

例 9.107

设 $\phi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 $\phi =\omega \psi$，其中 $\omega$ 是正交算子，$\psi$ 是半正定自伴随算子，且 $\omega \psi =\psi \omega$。

解答

证明 充分性的证明同例 9.96 充分性的证明，下证必要性。设 $\phi$ 在 $V$ 的某组标准正交基下的 表示矩阵为正交相似标准型

$$A=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ -b_1& a_1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}{a}_r& b_r\\ -b_r& a_r\end{array}\right),c_{2r+1},\cdots ,c_n\right\},$$

其中 $a_i,b_i,c_j$ 都是实数并且 $b_i\ne 0$。由线性变换与矩阵的一一对应，我们只要证明 存在乘法可交换的正交矩阵 $P$ 和半正定实对称矩阵 $S$，使得 $A=PS$ 即可。 令 $k_i=\sqrt{a_i^2+b_i^2}$，$a_i=k_i\cos {\theta }_i$，$b_i=k_i\sin {\theta }_i$， $1\le i\le r$。若 $c_j=0$，则令 $k_j=0,d_j=1$ 或 $-1$；若 $c_j\ne 0$，则令 $k_j=|c_j|,d_j=\frac{c_j}{|c_j|}$，$2r+1\le j\le n$。令

$$P=\mathrm{diag}\left\{\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_1& \sin {\theta }_1\\ -\sin {\theta }_1& \cos {\theta }_1\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_r& \sin {\theta }_r\\ -\sin {\theta }_r& \cos {\theta }_r\end{array}\right),d_{2r+1},\cdots ,d_n\right\},$$ $$S=\mathrm{diag}\{k_1,k_1,\cdots ,k_r,k_r,k_{2r+1},\cdots ,k_n\},$$

则容易验证这就是所要求的分解。$\square$