例 9.91

依赖于

• 例 9.28

被以下题目直接调用

• 例 9.103

例 9.91

设 $\phi$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$\phi$ 是正规算子的充要条件是 对 $V$ 中任意的向量 $\alpha$，都有 $\Vert \phi (\alpha )\Vert =\Vert {\phi }^{\ast }(\alpha )\Vert$。

解答

证法 1 必要性由例 9.28 给出，现证充分性。我们只要证明对任意的 $u,v\in V$，都有 $(\phi (u),\phi (v))=({\phi }^{\ast }(u),{\phi }^{\ast }(v))$。事实上，由上述等式可知 $(u,{\phi }^{\ast }\phi (v))=(u,\phi {\phi }^{\ast }(v))$ 成立，由此即可推出 $\phi {\phi }^{\ast }={\phi }^{\ast }\phi$。我们可以仿照教材 [1] 中证明保持范数的线性变换一定保持内积的方法进行讨论。 注意到在酉空间 $V$ 中，内积可用范数来表示，即对任意的 $u,v\in V$，

$$(u,v)=\frac{1}{4}\Vert u+v{\Vert }^2-\frac{1}{4}\Vert u-v{\Vert }^2+\frac{i}{4}\Vert u+iv{\Vert }^2-\frac{i}{4}\Vert u-iv{\Vert }^2,$$

故由 $\phi ,{\phi }^{\ast }$ 的线性可得

$$\begin{array}{rl}(\phi (u),\phi (v))& =\frac{1}{4}\Vert \phi (u+v){\Vert }^2-\frac{1}{4}\Vert \phi (u-v){\Vert }^2\\ & +\frac{i}{4}\Vert \phi (u+iv){\Vert }^2-\frac{i}{4}\Vert \phi (u-iv){\Vert }^2\\ & =\frac{1}{4}\Vert {\phi }^{\ast }(u+v){\Vert }^2-\frac{1}{4}\Vert {\phi }^{\ast }(u-v){\Vert }^2\\ & +\frac{i}{4}\Vert {\phi }^{\ast }(u+iv){\Vert }^2-\frac{i}{4}\Vert {\phi }^{\ast }(u-iv){\Vert }^2\\ & =({\phi }^{\ast }(u),{\phi }^{\ast }(v)).\end{array}$$

证法 2 考虑线性算子 $\phi {\phi }^{\ast }-{\phi }^{\ast }\phi$，这是一个自伴随算子，因此存在 $V$ 的一组 标准正交基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，使得 $\phi {\phi }^{\ast }-{\phi }^{\ast }\phi$ 在这组基下的 表示矩阵是对角矩阵 $\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$，即有 $(\phi {\phi }^{\ast }-{\phi }^{\ast }\phi )(e_i)={\lambda }_i{e}_i(1\le i\le n)$。于是

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_i(e_i,e_i)& =({\lambda }_i{e}_i,e_i)=((\phi {\phi }^{\ast }-{\phi }^{\ast }\phi )(e_i),e_i)\\ & =({\phi }^{\ast }(e_i),{\phi }^{\ast }(e_i))-(\phi (e_i),\phi (e_i))=0,\end{array}$$

从而 ${\lambda }_i=0(1\le i\le n)$，因此 $\phi {\phi }^{\ast }={\phi }^{\ast }\phi$。$\square$