例 9.89

依赖于

• 无显式依赖

被以下题目直接调用

• 例 9.90
• 例 9.113

例 9.89

设 $A,B$ 是实方阵且分块矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)$$

是实正规矩阵，求证：$C=O$ 且 $A,B$ 也是正规矩阵。

解答

证明 由已知

$$\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& O\\ C^{\prime }& B^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& O\\ C^{\prime }& B^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right),$$

从而 $A{A}^{\prime }+C{C}^{\prime }=A^{\prime }A$。由于 $\mathrm{tr}(A{A}^{\prime }+C{C}^{\prime })=\mathrm{tr}(A^{\prime }A)=\mathrm{tr}(A{A}^{\prime })$，故可得 $\mathrm{tr}(C{C}^{\prime })=0$，再由 $C$ 是实矩阵可推出 $C=O$，于是 $A{A}^{\prime }=A^{\prime }A,B{B}^{\prime }=B^{\prime }B$。$\square$