例 9.87

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例 9.86

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例 9.87

证明： $n$ 阶实方阵 $A$ 必正交相似于下列分块上三角矩阵：
$C = A_{1} ⋱ A_{r} c_{1} * ⋱ c_{k},$
其中 $A_{i} (1 \leq i \leq r)$ 是二阶实矩阵且 $A_{i}$ 的特征值具有 $a_{i} \pm b_{i} i (b_{i} \neq = 0)$ 的形状， $c_{j} (1 \leq j \leq k)$ 是实数。

解答

证明对阶数 $n$ 进行归纳。当 $n = 0$ 时表示归纳过程已结束，当 $n = 1$ 时结论显然成立。现设对阶小于 $n$ 的矩阵结论成立，下分两种情况对 $n$ 阶矩阵 $A$ 进行讨论。

首先，假设 $A$ 有实特征值 $λ$ 。因为 $A$ 和 $A^{'}$ 有相同的特征值，故 $λ$ 也是 $A^{'}$ 的特征值。将 $A$ 看成是 $n$ 维实列向量空间 $R^{n}$ （取标准内积）上的线性变换，显然 $A^{'}$ 是 $A$ 的伴随。设 $e_{n}$ 是 $A^{'}$ 的属于特征值 $λ$ 的单位特征向量，则 $L (e_{n})^{⊥}$ 是 $A$ 的不变子空间。将 $A$ 限制在 $L (e_{n})^{⊥}$ 上，由归纳假设，存在 $L (e_{n})^{⊥}$ 的标准正交基 $e_{1}, \dots, e_{n - 1}$ ，使得线性变换 $A$ 在这组基下的表示矩阵为分块上三角矩阵。于是在标准正交基 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ 下，线性变换 $A$ 的表示矩阵就是要求的矩阵 $C$ 。因为线性变换 $A^{'}$ 在同一组标准正交基下的表示矩阵为 $C^{'}$ ，故由 $A^{'} e_{n} = λ e_{n}$ 可知 $λ = c_{k}$ 。

其次，假设 $A$ 没有实特征值，并设 $a + bi$ 是 $A$ 的虚特征值。因为 $A$ 和 $A^{'}$ 有相同的特征值，故 $a + bi$ 也是 $A^{'}$ 的特征值。假设 $A^{'}$ 的属于特征值 $a + bi$ 的特征向量为 $α + β i$ ，其中 $α, β$ 是实列向量，则有

A^{'} (α + β i) = (a + bi) (α + β i) .

比较实部和虚部得到

A^{'} α = a α - b β, A^{'} β = b α + a β .

由例 9.86 可知， $α, β$ 必线性无关。设 $U = L (α, β)$ 为 $R^{n}$ 的子空间，则上式表明 $U$ 是线性变换 $A^{'}$ 的不变子空间，于是 $U^{⊥}$ 是 $A^{'}$ 的伴随 $A$ 的不变子空间。注意到 $dim U^{⊥} = n - 2$ ，故由归纳假设，存在 $U^{⊥}$ 的标准正交基 $e_{1}, \dots, e_{n - 2}$ ，使得线性变换 $A$ 在这组基下的表示矩阵为分块上三角矩阵：

A_{1} ⋱ * A_{r - 1} .

在 $U$ 中选取一组标准正交基 $e_{n - 1}, e_{n}$ ，则在标准正交基 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ 下，线性变换 $A$ 的表示矩阵为：

D = A_{1} ⋱ A_{r - 1} * A_{r} .

由于线性变换 $A^{'}$ 在同一组标准正交基下的表示矩阵为 $D^{'}$ ，故 $A_{r}$ 是 $A^{'}$ 在 $U$ 的标准正交基 $e_{n - 1}, e_{n}$ 下的表示矩阵。又

(a - b b a)

是 $A^{'}$ 在 $U$ 的基 $α, β$ 下的表示矩阵，于是 $A_{r}$ 相似于

(a - b b a)

，从而它的特征值也为 $a \pm bi$ 。 $□$

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