例 9.83

依赖于

• 例 9.82
• 例 8.76
• 例 8.77

被以下题目直接调用

• 无

例 9.83

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，求证：

(1) $A+B$ 是正定阵的充要条件是存在 $n$ 个线性无关的实列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，以及指标集 $I\subseteq \{1,2,\cdots ,n\}$，使得

$${\alpha }_i^{\prime }A{\alpha }_j={\alpha }_i^{\prime }B{\alpha }_j=0(\forall i\ne j),{\alpha }_i^{\prime }A{\alpha }_i>0(\forall i\in I),{\alpha }_j^{\prime }B{\alpha }_j>0(\forall j\notin I);$$

(2) $r(A,B)=r(A+B)$。

解答

证明 (1) 在例 9.82 中，令 $C=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ 为其列分块，由此即得结论。

(2) 证明 $r(A,B)=r(A+B)$ 有 3 种方法。第一种是利用线性方程组的求解理论， 其讨论过程类似于例 8.76 的证法 1。第二种方法是直接利用例 8.76 的结论， 请参考例 8.77 的证明。第三种方法是直接利用例 9.82 的结论，有

$$r(A,B)=r(C^{\prime }AC,C^{\prime }BC),$$

此时 $C^{\prime }AC$ 和 $C^{\prime }BC$ 都是半正定对角矩阵。若 $C^{\prime }AC$ 和 $C^{\prime }BC$ 同一行的主对角元全为零， 则 $(C^{\prime }AC,C^{\prime }BC)$ 和 $C^{\prime }(A+B)C$ 的这一行都是零向量，对求秩不起作用；若 $C^{\prime }AC$ 和 $C^{\prime }BC$ 同一行的主对角元至少有一个大于零，则 $(C^{\prime }AC,C^{\prime }BC)$ 和 $C^{\prime }(A+B)C$ 的这一行对求秩都起了加 $1$ 的作用，因此

$$r(A,B)=r(C^{\prime }AC,C^{\prime }BC)=r(C^{\prime }(A+B)C)=r(A+B).$$

$\square$