例 9.80

依赖于

• 例 9.75
• 例 9.76

被以下题目直接调用

• 例 9.81

例 9.80

设 $A,B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $A$ 正定且 $B$ 与 $A-B$ 均半正定， 求证：$|\lambda A-B|=0$ 的所有根全落在 $[0,1]$ 中，并且 $|A|\ge |B|$。

解答

证明 由例 9.75 可知，存在可逆矩阵 $C$，使得

$$C^{\prime }AC=I_n,C^{\prime }BC=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\},$$

其中 ${\lambda }_i$ 是矩阵 $A^{-1}B$ 的特征值，即是 $|\lambda A-B|=0$ 的根。 因为 $B$ 半正定，故 $C^{\prime }BC$ 也半正定，从而 ${\lambda }_i\ge 0$。因为 $A-B$ 半正定，故 $C^{\prime }(A-B)C=\mathrm{diag}\{1-{\lambda }_1,1-{\lambda }_2,\cdots ,1-{\lambda }_n\}$ 也半正定， 从而 ${\lambda }_i\le 1$，因此 $|\lambda A-B|=0$ 的所有根 ${\lambda }_i$ 全落在 $[0,1]$ 中。 由 $|A^{-1}B|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\le 1$ 可得 $|A|\ge |B|$。 另外，这一不等式也可由例 9.76 的半正定版本得到。$\square$