例 9.71

依赖于

• 例 8.17
• 第 2 章解答题 11

被以下题目直接调用

• 无

例 9.71

设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，$S$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，满足 $AS+SA=O$。 证明：$|A+S|>0$ 的充要条件是 $r(A)+r(S)=n$。

解答

证明 由于 $A$ 半正定，故存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{\prime }AQ=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$，其中 ${\lambda }_i>0(1\le i\le r)$，${\lambda }_{r+1}=\cdots ={\lambda }_n=0$。注意到问题的条件和结论在 同时正交相似变换 $A\mapsto Q^{\prime }AQ,S\mapsto Q^{\prime }SQ$ 下不改变，故不妨从一开始就假设 $A$ 为 正交相似标准型 $\mathrm{diag}\{\Lambda ,O\}$，其中 $\Lambda =\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r\}$。设 $S=(b_{ij})$，则由 $AS+SA=O$ 可得 $({\lambda }_i+{\lambda }_j)b_{ij}=0$。当 $i,j$ 至少有一个落在 $[1,r]$ 中时， 有 ${\lambda }_i+{\lambda }_j>0$，从而 $b_{ij}=0$，于是 $S=\mathrm{diag}\{O,S_{n-r}\}$，其中 $S_{n-r}$ 是 $S$ 右下角的 $n-r$ 阶主子阵。 注意到 $S_{n-r}$ 是一个实反对称矩阵，故由例 8.17 可知 $|S_{n-r}|\ge 0$，从而

$$|A+S|=|\mathrm{diag}\{\Lambda ,S_{n-r}\}|=|\Lambda |\cdot |S_{n-r}|\ge 0.$$

因此，$|A+S|>0$ 当且仅当 $|S_{n-r}|>0$，即当且仅当 $r(S_{n-r})=n-r$，这也当且仅当

$$r(A)+r(S)=r(A)+r(S_{n-r})=r+(n-r)=n$$

。$\square$

\par**第 2 章解答题 11** 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\mathrm{tr}((AB{)}^2)\le \mathrm{tr}(A^2{B}^2)$，并求等号成立的充要条件。

证法 2 设 $P$ 为正交矩阵，使得 $P^{\prime }AP=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$。注意到问题的条件和结论在 同时正交相似变换 $A\mapsto P^{\prime }AP,B\mapsto P^{\prime }BP$ 下不改变，故不妨从一开始就假设 $A$ 为正交相似标准型 $\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\}$。 设 $B=(b_{ij})$，则经计算可知

$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}(A^2{B}^2)-\mathrm{tr}((AB{)}^2)& =\sum _{i,j=1}^n{\lambda }_i^2{b}_{ij}^2-\sum _{i,j=1}^n{\lambda }_i{\lambda }_j{b}_{ij}^2\\ & =\sum _{1\le i<j\le n}({\lambda }_i^2+{\lambda }_j^2-2{\lambda }_i{\lambda }_j)b_{ij}^2\\ & =\sum _{1\le i<j\le n}({\lambda }_i-{\lambda }_j{)}^2{b}_{ij}^2\ge 0,\end{array}$$

且等号成立当且仅当 ${\lambda }_i{b}_{ij}={\lambda }_j{b}_{ij}(1\le i<j\le n)$，这也当且仅当 ${\lambda }_i{b}_{ij}={\lambda }_j{b}_{ij}(1\le i,j\le n)$，即当且仅当 $AB=BA$ 成立。$\square$