例 9.65

依赖于

• 例 9.64
• 例 9.52

被以下题目直接调用

• 无

例 9.65

设 $A,B$ 都是半正定实对称矩阵，其特征值分别为

$${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n,{\mu }_1\le {\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_n.$$

求证：$AB$ 的特征值全落在 $[{\lambda }_1{\mu }_1,{\lambda }_n{\mu }_n]$ 中。

解答

证明 采用与例 9.64 (1) 相同的讨论，我们只要证明 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 的特征值全落在 $[{\lambda }_1{\mu }_1,{\lambda }_n{\mu }_n]$ 中即可。任取 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}$ 的特征值 $\nu$ 及其特征向量 $\alpha$，即有 $A^{\frac{1}{2}}B{A}^{\frac{1}{2}}\alpha =\nu \alpha$。此式两边左乘 ${\alpha }^{\prime }$，并由例 9.52 可得

$$\nu {\alpha }^{\prime }\alpha =(A^{\frac{1}{2}}\alpha {)}^{\prime }B(A^{\frac{1}{2}}\alpha )\ge {\mu }_1(A^{\frac{1}{2}}\alpha {)}^{\prime }(A^{\frac{1}{2}}\alpha )={\mu }_1{\alpha }^{\prime }A\alpha \ge {\lambda }_1{\mu }_1{\alpha }^{\prime }\alpha ,$$

由此即得 $\nu \ge {\lambda }_1{\mu }_1$。同理可证 $\nu \le {\lambda }_n{\mu }_n$。$\square$